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青州高二高三期中数学政治一对一辅导来学大同程学堂 

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1. "四种命题”的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题的真假

例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

(1) 全等三角形的面积相等;

(2) m>时，方程mx2-x+1=0无实根;

解析 (1) 条件为两个三角形全等，结论为它们的面积相等。因此，原命题即为“若两个三角形全等，则它们的面积相等”，逆命题为“若两个三角形面积相等，则它们全等”，否命题为“若两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，逆否命题为“若两个三角形面积不相等，则它们不全等”。根据平面几何知识，易得原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题。

（2）原命题即为“若m>，则方程mx2-x+1=0无实根”，逆命题为“若方程mx2-x+1=0无实根，则m>”，否命题为“若m≤，则方程mx2-x+1=0有实根”，逆否命题为“若方程mx2-x+1=0有实根，则m≤”。根据判别式Δ=1-4m的正负可知，原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题。

突破 对于判断命题的真假，我们需要先弄清何为条件、何为结论，然后根据相应的知识进行判断，当原命题不容易直接判断时，可以先判断其逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性。

2. "充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断

例2 在下列命题中，判断p是q的什么条件。(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种)

(1) p:|p|≥2，p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有实根。

(2) p:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切;q:c2=(a2+b2)r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

(3) 设集合M={x|x>2}，N={x|x<3}，p:x∈M∩N;q:x∈M∪N.

解析 (1) 当|p|≥2时，例如p=3，此时方程x2+px+p+3=0无实根，因此“若p则q”为假命题;当方程x2+px+p+3=0有实根时，根据判别式有p≤-2或p≥6，此时|p|≥2成立，因此“若q则p”为真命题。故p是q的必要不充分条件。

（2）若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，则圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，化简可得c2=(a2+b2)r2，因此“若p则q”为真命题;反过来，由c2=(a2+b2)r2，可得r=，即圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离等于r，由解析几何知识得圆与直线相切，因此“若q则p”为真命题。故p是q的充要条件。

3) M∩N=(2，3)，M∪N=R，若x∈(2，3)，此时显然有x∈R，因此“若p则q”为真命题;反过来，若x∈R，例如x=5，此时x?埸(2，3)，因此“若q则p”为假命题。故p是q的充分不必要条件。

突破 ①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，若“若p则q”为真命题，则p是q的充分条件;若“若q则p”为真命题，则p是q的必要条件;若两者都是真命题，则p是q的充要条件;若两者都是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件。②从集合的观点理解：建立命题p，q相应的集合。 p:A={x|p(x)成立}，q:B={x|q(x)成立}。那么：若A?哿B，则p是q的充分条件;若B?哿A，则p是q的必要条件;若A=B，则p是q的充要条件。若A?芫B且B?芫A，则p是q的既不充分也不必要条件。

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